Выпускник Санкт-Петербургской государственной консерватории. В 1987 году совместно с режиссером А. В. Петровым организовал Санкт-Петербургский государственный детский музыкальный театр «Зазеркалье». Поставил в театре «Зазеркалье» более 70 спектаклей и дирижирует практически всем репертуаром. Среди них спектакли для детей и оперная классика П. Чайковского, Н. Римского-Корсакова, В. А. Моцарта, Дж. Россини, Г. Доницетти, Ж. Оффенбаха, Ж. Бизе, Дж. Пуччини, Дж. Гершвина. Несомненными достижениями последних лет являются его постановки «Кармен», «Царская невеста», «Евгений Онегин». Особое место в творчестве П. А. Бубельникова занимают оперы и мюзиклы современных петербургских и российских авторов.
Большое значение в жизни театра имели гастроли в Москве, которые состоялись в 2013 и 2016 годах на Новой сцене Большого театра. В 2014 году был признан «лучшим балетным дирижером», получив за свою дирижерскую работу в Мариинском театре Европейскую награду «Приз Тальони», учрежденную фондом Владимира Малахова. В течение ряда лет П. А. Бубельников совмещал работу главного дирижера театра «Зазеркалье» с работой приглашенного дирижера в ведущих музыкальных театрах города — в Мариинском и Михайловском. Является дирижером-постановщиком балетов «Пробуждение Флоры», «Дон Кихот» и оперы «Любовный напиток» в Мариинском театре, а также балета «Щелкунчик» в хореографии Начо Дуато в Михайловском театре.
Регулярно выезжал на гастроли с коллективами Мариинского и Михайловского театров, в том числе в США, Англию, Канаду, Японию, Италию, Южную Корею. Руководил постановками балетов «Баядерка» и «Ромео и Джульетта» в Сеуле (Корея), «Золушка» в Афинах (Греция). Помимо театральной работы маэстро создает интересные концертные программы классики и музыки ХХ–XXI веков с оркестром театра «Зазеркалье» и другими оркестрами Петербурга на лучших площадках города.