Народный артист РФ, лауреат Государственной премии СССР, лауреат премии имени А. Тарковского «За авторский вклад в развитие искусства», премии «Триумф», премии имени В. Старевича, лауреат премии В. Высоцкого «Своя колея», лауреат премии «Мастер» за выставку в Музее изящных искусств имени А. С. Пушкина, кавалер Ордена искусства и литературы Франции, кавалер японского Ордена восходящего солнца, награжден медалью Международного союза журналистов «За вклад в развитие искусства мультипликации и фильмов для детей и юношества».
В 1961 году окончил курсы художников-мультипликаторов при киностудии «Союзмультфильм». С 1961 по 1989 год работал на киностудии «Союзмультфильм». С 1961 по 1973 год был художником-мультипликатором на более чем 50 фильмах. В их числе «Левша» (режиссер Иван Иванов‑Вано), «Каникулы Бонифация» (режиссер Федор Хитрук), «Варежка», «Чебурашка» (режиссер Роман Качанов), цикл фильмов по рисункам Александра Пушкина (режиссер Андрей Хржановский).
С 1973 года Юрий Норштейн работал режиссером мультипликационных фильмов на киностудии «Союзмультфильм». Он является режиссером фильмов «Двадцать пятое, Первый день», «Сеча при Керженце», «Лиса и Заяц», «Цапля и Журавль», «Ежик в тумане», «Сказка сказок», «Шинель» (не окончена), «Русский сахар» — четыре рекламных ролика, заставка к телепередаче «Спокойной ночи, малыши», фильм по стихам Басе в японском цикле «Зимний день» (Япония).
В 1979–1996 преподавал на Высших Курсах сценаристов и режиссеров (факультет кинорежиссеров анимационного кино). С 1990 по 2006 год работал в «Фонде Ролана Быкова», где организовал анимационную студию «Артель». В 1993 году Юрий Норштейн (совместно с Андреем Хржановским, Федором Хитруком, Эдуардом Назаровым) организовал школу‑студию «ШАР», где преподавал до 1998 года. В разные годы читал лекции во ВГИКе, является почетным профессором ВГИКа, почетным доктором изящных искусств Rhode Island School of Design, Providence, США (2005).
Юрий Норштейн проводил мастер-классы во многих странах мира: в Норвегии (1993), Великобритании (1991, 1994), Венгрии, Италии, Франции, Канаде, Швеции (1995, 1996, 1997, 1998), США (2000), Нидерландах (1998), Бельгии (1994, 1995), Польше (1993, 2001), Латвии, Японии (ежегодно с 1995 по 2007 год). Неоднократно публиковал статьи об искусстве анимации, в том числе в сборнике «Мудрость вымысла» (1983), является автором книг «Снег на траве. Главы из книги» (2005), «Сказка сказок» (2005), «Снег на траве» (2008).
Выставки Норштейна проходили в Пермской Галерее, Музее Кино в Москве, в Мэрии Парижа (отель де Вилль), в Музее Джибури в Токио, в отделе личных коллекций ГМИИ имени А. С. Пушкина. Его фильмы награждены многочисленными международными премиями. В 1984 году в Лос-Анджелесе (США) фильм «Сказка сказок» признан лучшим фильмом всех времен и народов.
